Algunes solucions (via web) als exercicis de sistemes lineals per Gauss

Anem a utilitzar aquesta ferramenta web per a resoldre sistemes per Gauss:

https://matrixcalc.org/es/slu.html

Ací teniu totes les solucions als exercicis 65 a 71 de la pàgina 103 (en les formes matricial i amb incògnites, amb els enllaços, etc.). Ja vos he explicat a classe com usar la web, que té alguns avantatges respecte al que vos he contat com fer amb la calculadora científica.

[65a]
-1 1 1 5
2 -1 4 -5
1 1 -5 5

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,1,5%7D,%7B2,-1,4,-5%7D,%7B1,1,-5,5%7D%7D%29

[65b]
1 -2 -1 -1
1 -1  2  2
1  2  1  3

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-2,-1,-1%7D,%7B1,-1,2,2%7D,%7B1,2,1,3%7D%7D%29

[65c]
2 -1 -1  24
7 10  2   6
2  6  4 -10

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,-1,-1,24%7D,%7B7,10,2,6%7D,%7B2,6,4,-10%7D%7D%29

[65d]
-x+3y+z=-15
3x-y+3z=9
x+4x-2z=-4

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,3,1,-15%7D,%7B3,-1,3,9%7D,%7B5,0,-2,-4%7D%7D%29

[65e]
3x+2y+2z=1
2x+y+z=0
3y+2z=-1

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,2,2,1%7D,%7B2,1,1,0%7D,%7B0,3,2,-1%7D%7D%29

[65f]
3x - 2y + 4z = 5
5x + 2y -2z = -1
-x +6y -10x = -11

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-2,4,5%7D,%7B5,2,-2,-1%7D,%7B-11,6,0,-11%7D%7D%29

[66a]
Si multipliquem la tercera equació per 2, tenim aquest sistema ja sense fraccions:
x+y-z=3
2x-y-5z=0
x+6y+4z=13

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,-1,3%7D,%7B2,-1,-5,0%7D,%7B1,6,4,13%7D%7D%29


[66b]
x-y+z=1
-2x+y-z=-4
x+2y-2z=7

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,1%7D,%7B-2,1,-1,-4%7D,%7B1,2,-2,7%7D%7D%29

[66c]
-x+y+z=5
2x-y-4z=-5
x+y-5z=5

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,1,5%7D,%7B2,-1,-4,-5%7D,%7B1,1,-5,5%7D%7D%29

[66d]
x+y-5z=2
x-y-z=-4
y-2z=3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,-5,2%7D,%7B1,-1,-1,-4%7D,%7B0,1,-2,3%7D%7D%29

[66e]
x-2z=-11
2y-z=-5
x-4y=-1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B0,1,-2,-11%7D,%7B2,0,-1,-5%7D,%7B-4,1,0,-1%7D%7D%29

[66f]
-x+y-z=-7
3x-y-z=15
4x-2y=22

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,-1,-7%7D,%7B3,-1,-1,15%7D,%7B4,-2,0,22%7D%7D%29

[67a]
x-y+z=3
2x+4z=2
2x-y+3z=1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,3%7D,%7B2,0,4,2%7D,%7B2,-1,3,1%7D%7D%29

[67b]
2x+y-z=0
x+3y-2z=1
x-2y+z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,1,-1,0%7D,%7B1,3,-2,1%7D,%7B1,-2,1,2%7D%7D%29

[67c]
-x-y+2z=3
2x+3y+z=-2
2y+10z=8

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,-1,2,3%7D,%7B2,3,1,-2%7D,%7B0,2,10,8%7D%7D%29

[67d]
x+2y-z=5
2x+y-2z=7
x-y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,2,-1,5%7D,%7B2,1,-2,7%7D,%7B1,-1,-1,0%7D%7D%29

[67e]
x+5y-5z=12
-2x-3y+3z=-1
3x+y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,5,-5,12%7D,%7B-2,-3,3,-1%7D,%7B3,1,-1,0%7D%7D%29

[67f]
x-5y+3z=10
2x-2y+z=-4
3x+y-z=5

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-5,3,10%7D,%7B2,-2,1,-4%7D,%7B3,1,-1,5%7D%7D%29

[68a]
-x+y-z=6
y-4z=-7
-x=4

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,-1,6%7D,%7B0,1,-4,-7%7D,%7B-1,0,0,4%7D%7D%29

[68b]
Escrivim ordenadament el sistema per a poder emprar el mètode de Gauss:
-2x-y+5z=-3
7x-5y+z=2
3x+3y+2z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-2,-1,5,-3%7D,%7B7,-5,1,2%7D,%7B3,3,2,2%7D%7D%29

[68c]

x-y+z=-4

x-z=-10

y-z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,-4%7D,%7B1,0,-1,-10%7D,%7B0,1,-1,2%7D%7D%29

[68d]

2x+y-2z=4

3x-2y+2z=3

-5x+3y+z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,1,-2,4%7D,%7B3,-2,2,3%7D,%7B-5,3,1,2%7D%7D%29

[69a]
2x+4y+z=0
x-y+2z=0
-3x+2y+z=0

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,4,1,0%7D,%7B1,-1,2,0%7D,%7B-3,2,1,0%7D%7D%29


[69b]
2x-3y+z=0
x+9y-3z=0
5x+3y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,-3,1,0%7D,%7B1,9,-3,0%7D,%7B5,3,-1,0%7D%7D%29


[69c]
6x+4y-12z=6
7x+6y+18z=7
-3x-2y+6z=-3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B6,4,-12,6%7D,%7B7,6,18,7%7D,%7B-3,-2,6,-3%7D%7D%29


[69d]
3x-7y+4z=4
-10x+71y+9z=9
6x-3y-2z=10

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-7,4,4%7D,%7B-10,71,9,9%7D,%7B6,-3,-2,10%7D%7D%29

[70a]
x+4y=2
2x-y+2z=1
7x =3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B0,1,4,2%7D,%7B2,2,-1,1%7D,%7B0,7,0,3%7D%7D%29

[70b]
x+y+2z=4
-2x+y-z=3
-x+2y+z=1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,2,4%7D,%7B-2,1,-1,3%7D,%7B-1,2,1,1%7D%7D%29

[71a]
Després de multiplicar cada equació per 4, 10 i 2 ens queda la següent expressió quasi matricial del sistema (que és la que podeu copiar en la web per a veure la solució):
2x-y+4z=43
20x+2y+5z=90
x-y-2z=-8
https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28{{2,-1,4,43},{20,2,5,90},{1,-1,-2,-8}}%29


[71b]
Després de desfer els parèntesis en les equacions 1a i 2a i de multiplicar per 30 la 3a obtenim la següent expressió del sistema:
-3x-3y+4z=1
2x-y-z=-5
15x+10y-6z=-1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28{{-3,-3,4,1},{2,-1,-1,-5},{15,10,-6,-1}}%29

Mètode de Gauss - exemples resolts a Youtube

He ordenat el millor que he cregut els següents exemples de sistemes de 3 equacions amb 3 incògnites resolts en YouTube. Cadascú conta les mateixes coses de formes lleugerament diferents, però els exercicis vos serviran per a 1) practicar 2) veure la solució i 3) aprendre que hi ha formes diferents de resoldre els sistemes.

EXEMPLE 1:

2x + 6y + z = 7
x + 2y -z = -1
5x + 7y -4z = 9

El teniu resolt, molt claret, ací:  https://www.youtube.com/watch?v=XRcx8-2lLJI
La resolució comença en 3:38, acaba en 16:00. A partir d'eixe moment el que fa és comprovar la solució. En 19:00 comença el següent exemple.


EXEMPLE 2:

x + y + 2z = 3
2x + y -3z = 4
  -x -2y = -5

És la continuació del vídeo anterior, enllaç al minut 19:00 ací: https://youtu.be/XRcx8-2lLJI?t=1140
Hi ha un xicotet error (canvia un -7z per -3z), però com no li afecta al resultat (perquè li dóna z=0) no se n'adona.


EXEMPLE 3:

x - 2y + z = 3
2x - 5y +3z = 4
5x + y + 7z = 11

El teniu ací, és el primer de 3 exemples que vos enllace del mateix professor: https://youtu.be/sHBlmYy7-0U.

La resolució acaba en 8:30 aproximadament, i el que segueix a partir d'eixe moment és una interpretació geomètrica interessant.

EXEMPLE 4:

2x - y + 15z = 3
x - 3y -2z  = 7
x - 8y -21z = 11

Ací el teniu resolt: https://youtu.be/__8Vg4ePRr4. En el minut 9 hi ha una interessant interpretació geomètrica. No espereu a 2n de Batxillerat a "visualitzar" el sentit que tenen els sistemes d'equacions en 3 dimensions: això és útil que ho feu des de ja mateix.


EXEMPLE 5:

x - y +3z = 4
2x -y - z = 6
3x - 2y + 2z = 10

El teniu resolt ací: https://www.youtube.com/watch?v=ERUAPI-jrH0
A partir del minut 11 fa una interpretació geomètrica en la pissarra del significat d'eixa solució, i és interessant que escolteu l'explicació.

A més d'eixa explicació, vos adjunte ací baix una imatge meua de Geogebra 3D on apareix eixa interpretació geomètrica "ben dibuixada", amb les mateixes equacions de l'exemple.

EXEMPLE 6:

x +  y +  z = 2
x + 2y + 3z = 3
x + 3y +  z = 0

El teniu resolt i explicat a partir del minut 5:10, vos ho enllace directament. https://youtu.be/aBfJohxq1Xs?t=310
NO necessiteu, de moment, el mètode Gauss-Jordan, així que podeu parar en el minut 11. En 2n BAT sí podria ser-vos útil, així que si seguiu sabreu en què consisteix.
NOTA: Mai li poseu una dièresi a la u de "Gauss": és una falta de respecte al Príncep dels Matemàtics.


EXEMPLE 7:

2x + y -z = 1
3x - 2y + z = 2
-4x + 3y -2z = -4

El teniu ací: https://www.youtube.com/watch?v=kpRQ_jWHSqg
En l'encapçalament diu "Gauss-Jordan", però en realitat usa Gauss, que és el que ens interessa (no són tan diferents, en realitat). La resolució comença en 2:50, les explicacions del prinicipi ja les sabeu.


EXEMPLE 8:

5x + y + 7z = 11
2x -5y +3z = 4
x  - 2y + z = 3

El teniu resolt ací: https://www.youtube.com/watch?v=Ix9hDqfNuIA
Susi aconsegueix escalonar sense canviar la disposició inicial de les equacions, PERÒ jo vos recomane que intercanvieu la 1a i la 3a equacions. No cal dir que el resultat serà el mateix i que el podeu comprovar.
Heu de tindre en compte que en aquest i altres exemples, Susi anomena "funcions" a les "files" (no és del tot erroni, però és desconcertant: no ho feu!) i escriu les operacions que fa amb les files de forma diferent (però també correcta) a com ho fem nosaltres.


EXEMPLE 9:

x  -3y + 7z = 10
5x - y + z = 10
x + 4y - 10z = -11

Ací el teniu: https://www.youtube.com/watch?v=3S7Lx7c9N8Q.

A partir de 6:45 torna a explicar el que jo ja vos he contat a classe: què fer quan "ens sobra" una equació, és a dir: quan ens queden només dues (o una!) restriccions per a tres incògnites. En eixes situacions hem "guanyat" un (o dos!) graus de llibertat, és a dir: podem fer variar el valor d'un (o dos) paràmetres per a aconseguir les infinites solucions del sistema (que és Compatible Indeterminat).


EXEMPLE 10:

x  -3y - 2z = 7
2x - y +15z = 3
x - 8y - 21z = 11

El vídeo és este, https://www.youtube.com/watch?v=cPiQRNrBBSY.

La professora comet un xicotet error en 2:45 que corregeix més tard (5:50). Eixes coses vos passaran a vosaltres (em passen a mi!) i heu de saber "intuir" quan hi ha un signe en què podríeu haver-vos equivocat (perquè veieu que si eixe signe canvia, canvia la discussió del sistema). Corregir errors "al vol" és també una habilitat matemàtica utilíssima que només s'adquereix... practicant i equivocant-se! Finalment, en 7:20 es raona perquè el sistema és Incompatible (perquè ens "desapareixen" totes les incògnites però queda un nombre distint de zero en l'altre membre).

MAT I - Informació prèvia a l'examen de funcions 20-nov

Informació per a l'examen del dia 20 de 1r de Batxillerat (els de 3r d'ESO esteu buscant una altra entrada del blog, més avall, just l'anterior...)

Ací teniu les gràfiques de l'exercici 103, pàgina 239. En general, he representat cada tros com una funció distinta per a que pugueu veure cada tros en un color distint. Feu clic dret i "obrir en una nova pestanya" per a consultar les gràfiques sense perdre de vista aquest índex.

103a) https://www.geogebra.org/m/mahg6s6s
103b) https://www.geogebra.org/m/usqwqgwv
103c) https://www.geogebra.org/m/bunqysyb

Exercicis i examen polinomis 3r ESO B

Dedicarem les pròximes dues classes de Matemàtiques dilluns 18 i dimarts 19 a corregir i repassar per a l'examen de polinomis de dimecres 20. Però a continuació teniu les solucions de un grapat d'exercicis per a que pugueu treballar-los el cap de setmana i comprovar ja si ho sabeu fer.

Què heu d'esperar que isca en l'examen? Una varietat de qüestions que inclouran, probablement:

- Fer operacions amb polinomis (suma, resta, producte, combinació), com les de la fitxa que vos vaig donar o l'exercici 30 que teniu a continuació.
- Dividir polinomis (de la forma general i per Ruffini)
- Desenvolupar i identificar identitats notables (és a dir, saber treballar amb elles en els dos sentits, teniu exemples ja fets més avall)
- Calcular el valor numèric de polinomis, saber què és una arrel
- Factoritzar polinomis (fent Ruffini o trobant identitats notables: no serà més difícil que fins on hàgem arribat en classe)

Necessiteu pràctica fins i tot per a fer perfectes les preguntes senzilles durant el temps limitat de l'examen. Repetiu, si cal, els exemples de classe que teniu a la llibreta o els exercicis resolts del llibre. Teniu molts dies per davant i sabeu quina és la meta. Sort!

Equacions amb fraccions algèbriques (Mat I)

Les fraccions algèbriques són quocients de polinomis. Per tant, resoldre les equacions en què apareixen les fraccions algèbriques és relativament simple (si no s'equivoqueu calculant, clar):

1. "Elimineu" els denominadors, de forma que ja no teniu fraccions algèbriques sinó una equació polinòmica.
2. Resoleu eixa equació polinòmica (per Ruffini, si cal).
3. Comproveu si alguna de les solucions no és vàlida perquè anul·la el denominador d'alguna de les fraccions algèbriques originals.

El punt 3 podem formular-lo ja d'una altra forma. Penseu que una equació consisteix en trobar els x que compleixen:

f(x) = g(x)

on f i g són funcions. Per moltes operacions que realitzem amb eixes funcions (treure denominadors, llevar arrels quadrades, etc.), les solucions que trobem han d'estar en el domini tant de la funció f com de la funció g tal i com estaven expressades en el plantejament de l'equació. Això no és cap problema amb les funcions polinòmiques, que tenen per domini tots els nombres reals, però en les equacions amb fraccions algèbriques, arrels quadrades, etc. sí que s'ha de tenir en compte abans de donar per vàlides les solucions que hàgem trobat. No podem acceptar solucions que no estiguen en el domini de les funcions f i g, dels dos membres de l'equació.

Ací teniu la solució als exercicis 76, 77, 79 i 80 de les pàgines 77 i 78 del llibre.

Inequacions (Mat I)

Tal li com vam comentar a classe, pengem les solucions a les inequacions (relativament senzilles) que planteja el llibre de Matemàtiques I. Les inequacions ens interessen no tant per elles mateixes, sinó perquè són una ferramenta que ens permet determinar intervals o regions dels nombres reals en què es verifica una determinada condició (per exemple, saber quin és el domini d'una funció que té arrels quadrades o logaritmes en la seua expressió algebraica).

Funcions: concepte, domini (Mat I)

El concepte de funció

El de funció és el primer concepte important que vull que vos quede clar en Matemàtiques I (no hi ha cap més important, la veritat: és absolutament central en Matemàtiques). És tan important que ha pagat la pena "avançar-nos" a eixe tema abans de veure'n altres del llibre. Una bona explicació del concepte (animada i clara) la teniu en el següent vídeo, que està... en anglés.

No heu de tindre-li por a les explicacions científiques en anglés: sovint estan ben animades, documentades i subtitulades, són clares, solen usar paraules tècniques molt semblants a les que usem en valencià o castellà i vos poden aclarir algunes idees importants. Un consell: poseu el vídeo a velocitat 0,75 i activeu els subtítols en anglés, així vos resultarà més fàcil de seguir. He apuntat algunes paraules importants que ixen en el vídeo i podrien no ser evidents. Good luck!

set - conjunt
input - entrada (podríem dir també "domini")
output - eixida (compte: no és el mateix que el "rang", tal i com suggereix el vídeo)
pattern - patró

Els exercicis sobre dominis

Hi ha molts vídeos d'exercicis de calcular el domini d'una funció, vos enllace este perquè m'ha semblat especialment complet (un pèl massa i tot: podeu botar-vos els apartats i) i j) perquè encara no hem fet trigonometria enguany). S'assembla al que farem a classe. Compte perquè va resolent tots els apartats sense indicar clarament en quin està, no vos perdeu.