Equacions trigonomètriques (comprovació amb gràfiques de funcions)

La resolució de les equacions trigonomètriques del llibre es fa tal i com hem vist a classe: emprant fórmules i raonant les possibles solucions a partir de la circumferència goniomètrica. Però també vull que considereu una possibilitat: considerar eixes expressions trigonomètriques com a funcions (que ho són: les funcions periòdiques més importants que hi ha!) i considerar les seues solucions com el conjunt dels seus infinits punts de tall (amb una recta horitzontal o amb l'eix X). Eixa forma de veure les equacions trigonomètriques vos permetria comprovar si heu fet bé o no una equació a la llibreta.

Vos adjunte tot seguit la representació gràfica corresponent a algunes activitats del llibre.

EN COMPLETAREM MÉS ABANS DE L'EXAMEN

p. 118 exemple 6a

p. 118 exemple 6b

p. 118 exercici 22b

p. 118 exercici 22c

p. 118 exercici 22d

p. 125 exemple abans del 36

p. 125, 36a

p. 125, 36b

Resolució de triangles p. 130 - Teoremes sinus i cosinus - MAT I

Adjunte la solució als exercicis de resolució de triangles (aplicacions del Teorema del Sinus i del Teorema del Cosinus) de la pàgina 130 del llibre de Matemàtiques I.

Solució sistemes pàgina 93 - 3r ESO Acadèmiques

Més avall teniu les solucions gràfiques als sistemes d'equacions dels exercicis 44, 45 i 46 de la pàgina 93 del llibre. És a dir: teniu la representació gràfica de cadascuna de les equacions i les coordenades (x,y) de la solució, és a dir, del punt en què es tallen. (Tots els sistemes són compatibles determinats, és a dir, tenen una solució).

Les solucions de cada sistema són, òbviament, independents del mètode pel qual l'hàgeu resolt. De forma que estos mateixos exercicis vos poden servir per a practicar tots els mètodes (és a dir: repetir els exercicis amb mètodes diferents als que diuen els enunciats, que són substitució en el 44, igualació en el 45 i reducció en el 46).

Examen 3r ESO Equacions - 18 desembre 2019

Estos són els continguts de l'examen de Matemàtiques del pròxim dimecres 18 de desembre, corresponents al tema d'equacions. La puntuació mínima que tindrà cada part és la indicada entre parèntesi (sumen només 8 punts per això, perquè és la mínima, les preguntes corresponents valdran més, fins a completar 10 punts).

- Equacions de 1r grau (1'5p). Poden servir d'orientació els exercicis 4 al 8 de la fitxa F52 proporcionada pel professor.
- Equacions de 2n grau completes i incompletes (2p). És repàs de 2n de l'ESO, hem corregit exemples a classe.
- Equacions biquadrades (1p): n'hem fet ja, en farem més dilluns i dimarts.
- Factorització de polinomis (1'5p): ja ho vam estudiar  en la 1a avaluació, ara ho hem completat emprant tant Ruffini com equacions de 2n grau.
- Resolució de problemes emprant equacions (2p): hi ha dos tipus en el llibre, principalment, els "geomètrics" (la incògnita correspon a longituds de segments) i els "numèrics" (trobar un o dos nombres que complisquen determinades condicions).

Hem fet exemples i exercicis de totes eixes seccions de l'examen a classe, i encara en farem més dilluns i dimarts. Organitzeu-vos el temps d'estudi i pràctica des de ja per a aconseguir un bon resultat.

MAT I - Exercicis per a preparar l'examen d'equacions i sistemes lineals i no lineals

Ací teniu la solució a uns quants exercicis d'equacions exponencials i logarítmiques del llibre. Més avall trobareu la solució gràfica feta en GeoGebra dels sistemes no lineals de la pàgina 104, exercici 81.

En les captures de pantalla de Geogebra de més avall, podreu trobar no només la interpretació gràfica d'estos sistemes no lineals (que no vaig a demanar-vos, però que és útil que intenteu entendre per a quan fem geometria del pla), sinó el que vos interessa ara: la solució numèrica, que són les coordenades dels punts d'intersecció (podeu vore-ho a l'esquerra de cada imatge).

Recuperació 1a avaluació Matemàtiques Acadèmiques 3r ESO B

A continuació teniu un guió dels continguts fonamentals pels quals preguntaré en la recuperació de la 1a avaluació que farem dimecres 15 de gener a les 8:00. Teniu 40 dies per a anar estudiant (tot i que el més sensat és que espereu a després de fer bé, com segur fareu, l'examen d'equacions que tenim dimecres 18 de desembre).

Preguntaré un poquet de tot, i per motius obvis de temps, no preguntaré res massa llarg ni complicat de cap apartat concret. Així que sigueu intel·ligents, i aneu estudiant variadet per a traure tants punts com pugueu.

RECUPERACIÓ 1a avaluació dimecres 15 de gener 3r ESO B

1. Operacions combinades amb fraccions:
Fitxa F37, proporcionada pel professor, amb 24 operacions combinades per a practicar

2. Problemes amb fraccions, els que vam fer a classe, que aproximadament són aquests:
p.9: 14, 15, 16, 17, 18
p.17: 63, 64, 65, 66, 67, 68

3. Operacions amb potències:
p. 25: 10, 12
p. 27: 22, 23, 24 i 27
p. 37: 88

4. Operacions amb notació científica (és important recordar que en estos exercicis el resultat HA D'ESTAR representat en notació científica):
p. 31: 47 i 48
p. 38: 104, 105 i 106

5. Radicals:
p. 33: 61 i 62
p. 35: 76abcd i 77 (i l'exercici resolt que hi ha just abans)
p. 39: 120abcde i 121abcde

6. Operacions amb polinomis: (no cal que les feu totes, vos pose varietat per a que feu bé i amb seguretat estes operacions, que són senzilles)
Fitxa F55, proporcionada pel professor, qualsevol exercici que NO tinga fraccions en el seu enunciat.
p. 53: 48 i 49
p. 55: 60 (podeu fer-lo només per Ruffini)
p. 60: 97, 105, 108

7. Identitats notables:
p. 51: 37, 38, 39, 40
p. 60: 101, 102

8. Factorització:
No la repasseu tal i com l'hem feta en novembre. La repassarem a classe emprant equacions de 2n grau en el tema que estem explicant ara, i vos la preguntaré així (és un avantatge per a vosaltres, vos eixirà més fàcil i ho tindreu més recent).

Algunes solucions (via web) als exercicis de sistemes lineals per Gauss

Anem a utilitzar aquesta ferramenta web per a resoldre sistemes per Gauss:

https://matrixcalc.org/es/slu.html

Ací teniu totes les solucions als exercicis 65 a 71 de la pàgina 103 (en les formes matricial i amb incògnites, amb els enllaços, etc.). Ja vos he explicat a classe com usar la web, que té alguns avantatges respecte al que vos he contat com fer amb la calculadora científica.

[65a]
-1 1 1 5
2 -1 4 -5
1 1 -5 5

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,1,5%7D,%7B2,-1,4,-5%7D,%7B1,1,-5,5%7D%7D%29

[65b]
1 -2 -1 -1
1 -1  2  2
1  2  1  3

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-2,-1,-1%7D,%7B1,-1,2,2%7D,%7B1,2,1,3%7D%7D%29

[65c]
2 -1 -1  24
7 10  2   6
2  6  4 -10

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,-1,-1,24%7D,%7B7,10,2,6%7D,%7B2,6,4,-10%7D%7D%29

[65d]
-x+3y+z=-15
3x-y+3z=9
x+4x-2z=-4

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,3,1,-15%7D,%7B3,-1,3,9%7D,%7B5,0,-2,-4%7D%7D%29

[65e]
3x+2y+2z=1
2x+y+z=0
3y+2z=-1

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,2,2,1%7D,%7B2,1,1,0%7D,%7B0,3,2,-1%7D%7D%29

[65f]
3x - 2y + 4z = 5
5x + 2y -2z = -1
-x +6y -10x = -11

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-2,4,5%7D,%7B5,2,-2,-1%7D,%7B-11,6,0,-11%7D%7D%29

[66a]
Si multipliquem la tercera equació per 2, tenim aquest sistema ja sense fraccions:
x+y-z=3
2x-y-5z=0
x+6y+4z=13

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,-1,3%7D,%7B2,-1,-5,0%7D,%7B1,6,4,13%7D%7D%29


[66b]
x-y+z=1
-2x+y-z=-4
x+2y-2z=7

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,1%7D,%7B-2,1,-1,-4%7D,%7B1,2,-2,7%7D%7D%29

[66c]
-x+y+z=5
2x-y-4z=-5
x+y-5z=5

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,1,5%7D,%7B2,-1,-4,-5%7D,%7B1,1,-5,5%7D%7D%29

[66d]
x+y-5z=2
x-y-z=-4
y-2z=3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,-5,2%7D,%7B1,-1,-1,-4%7D,%7B0,1,-2,3%7D%7D%29

[66e]
x-2z=-11
2y-z=-5
x-4y=-1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B0,1,-2,-11%7D,%7B2,0,-1,-5%7D,%7B-4,1,0,-1%7D%7D%29

[66f]
-x+y-z=-7
3x-y-z=15
4x-2y=22

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,-1,-7%7D,%7B3,-1,-1,15%7D,%7B4,-2,0,22%7D%7D%29

[67a]
x-y+z=3
2x+4z=2
2x-y+3z=1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,3%7D,%7B2,0,4,2%7D,%7B2,-1,3,1%7D%7D%29

[67b]
2x+y-z=0
x+3y-2z=1
x-2y+z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,1,-1,0%7D,%7B1,3,-2,1%7D,%7B1,-2,1,2%7D%7D%29

[67c]
-x-y+2z=3
2x+3y+z=-2
2y+10z=8

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,-1,2,3%7D,%7B2,3,1,-2%7D,%7B0,2,10,8%7D%7D%29

[67d]
x+2y-z=5
2x+y-2z=7
x-y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,2,-1,5%7D,%7B2,1,-2,7%7D,%7B1,-1,-1,0%7D%7D%29

[67e]
x+5y-5z=12
-2x-3y+3z=-1
3x+y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,5,-5,12%7D,%7B-2,-3,3,-1%7D,%7B3,1,-1,0%7D%7D%29

[67f]
x-5y+3z=10
2x-2y+z=-4
3x+y-z=5

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-5,3,10%7D,%7B2,-2,1,-4%7D,%7B3,1,-1,5%7D%7D%29

[68a]
-x+y-z=6
y-4z=-7
-x=4

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,-1,6%7D,%7B0,1,-4,-7%7D,%7B-1,0,0,4%7D%7D%29

[68b]
Escrivim ordenadament el sistema per a poder emprar el mètode de Gauss:
-2x-y+5z=-3
7x-5y+z=2
3x+3y+2z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-2,-1,5,-3%7D,%7B7,-5,1,2%7D,%7B3,3,2,2%7D%7D%29

[68c]

x-y+z=-4

x-z=-10

y-z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,-4%7D,%7B1,0,-1,-10%7D,%7B0,1,-1,2%7D%7D%29

[68d]

2x+y-2z=4

3x-2y+2z=3

-5x+3y+z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,1,-2,4%7D,%7B3,-2,2,3%7D,%7B-5,3,1,2%7D%7D%29

[69a]
2x+4y+z=0
x-y+2z=0
-3x+2y+z=0

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,4,1,0%7D,%7B1,-1,2,0%7D,%7B-3,2,1,0%7D%7D%29


[69b]
2x-3y+z=0
x+9y-3z=0
5x+3y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,-3,1,0%7D,%7B1,9,-3,0%7D,%7B5,3,-1,0%7D%7D%29


[69c]
6x+4y-12z=6
7x+6y+18z=7
-3x-2y+6z=-3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B6,4,-12,6%7D,%7B7,6,18,7%7D,%7B-3,-2,6,-3%7D%7D%29


[69d]
3x-7y+4z=4
-10x+71y+9z=9
6x-3y-2z=10

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-7,4,4%7D,%7B-10,71,9,9%7D,%7B6,-3,-2,10%7D%7D%29

[70a]
x+4y=2
2x-y+2z=1
7x =3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B0,1,4,2%7D,%7B2,2,-1,1%7D,%7B0,7,0,3%7D%7D%29

[70b]
x+y+2z=4
-2x+y-z=3
-x+2y+z=1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,2,4%7D,%7B-2,1,-1,3%7D,%7B-1,2,1,1%7D%7D%29

[71a]
Després de multiplicar cada equació per 4, 10 i 2 ens queda la següent expressió quasi matricial del sistema (que és la que podeu copiar en la web per a veure la solució):
2x-y+4z=43
20x+2y+5z=90
x-y-2z=-8
https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28{{2,-1,4,43},{20,2,5,90},{1,-1,-2,-8}}%29


[71b]
Després de desfer els parèntesis en les equacions 1a i 2a i de multiplicar per 30 la 3a obtenim la següent expressió del sistema:
-3x-3y+4z=1
2x-y-z=-5
15x+10y-6z=-1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28{{-3,-3,4,1},{2,-1,-1,-5},{15,10,-6,-1}}%29