Solució sistemes pàgina 93 - 3r ESO Acadèmiques

Més avall teniu les solucions gràfiques als sistemes d'equacions dels exercicis 44, 45 i 46 de la pàgina 93 del llibre. És a dir: teniu la representació gràfica de cadascuna de les equacions i les coordenades (x,y) de la solució, és a dir, del punt en què es tallen. (Tots els sistemes són compatibles determinats, és a dir, tenen una solució).

Les solucions de cada sistema són, òbviament, independents del mètode pel qual l'hàgeu resolt. De forma que estos mateixos exercicis vos poden servir per a practicar tots els mètodes (és a dir: repetir els exercicis amb mètodes diferents als que diuen els enunciats, que són substitució en el 44, igualació en el 45 i reducció en el 46).

Examen 3r ESO Equacions - 18 desembre 2019

Estos són els continguts de l'examen de Matemàtiques del pròxim dimecres 18 de desembre, corresponents al tema d'equacions. La puntuació mínima que tindrà cada part és la indicada entre parèntesi (sumen només 8 punts per això, perquè és la mínima, les preguntes corresponents valdran més, fins a completar 10 punts).

- Equacions de 1r grau (1'5p). Poden servir d'orientació els exercicis 4 al 8 de la fitxa F52 proporcionada pel professor.
- Equacions de 2n grau completes i incompletes (2p). És repàs de 2n de l'ESO, hem corregit exemples a classe.
- Equacions biquadrades (1p): n'hem fet ja, en farem més dilluns i dimarts.
- Factorització de polinomis (1'5p): ja ho vam estudiar  en la 1a avaluació, ara ho hem completat emprant tant Ruffini com equacions de 2n grau.
- Resolució de problemes emprant equacions (2p): hi ha dos tipus en el llibre, principalment, els "geomètrics" (la incògnita correspon a longituds de segments) i els "numèrics" (trobar un o dos nombres que complisquen determinades condicions).

Hem fet exemples i exercicis de totes eixes seccions de l'examen a classe, i encara en farem més dilluns i dimarts. Organitzeu-vos el temps d'estudi i pràctica des de ja per a aconseguir un bon resultat.

MAT I - Exercicis per a preparar l'examen d'equacions i sistemes lineals i no lineals

Ací teniu la solució a uns quants exercicis d'equacions exponencials i logarítmiques del llibre. Més avall trobareu la solució gràfica feta en GeoGebra dels sistemes no lineals de la pàgina 104, exercici 81.

En les captures de pantalla de Geogebra de més avall, podreu trobar no només la interpretació gràfica d'estos sistemes no lineals (que no vaig a demanar-vos, però que és útil que intenteu entendre per a quan fem geometria del pla), sinó el que vos interessa ara: la solució numèrica, que són les coordenades dels punts d'intersecció (podeu vore-ho a l'esquerra de cada imatge).

Recuperació 1a avaluació Matemàtiques Acadèmiques 3r ESO B

A continuació teniu un guió dels continguts fonamentals pels quals preguntaré en la recuperació de la 1a avaluació que farem dimecres 15 de gener a les 8:00. Teniu 40 dies per a anar estudiant (tot i que el més sensat és que espereu a després de fer bé, com segur fareu, l'examen d'equacions que tenim dimecres 18 de desembre).

Preguntaré un poquet de tot, i per motius obvis de temps, no preguntaré res massa llarg ni complicat de cap apartat concret. Així que sigueu intel·ligents, i aneu estudiant variadet per a traure tants punts com pugueu.

RECUPERACIÓ 1a avaluació dimecres 15 de gener 3r ESO B

1. Operacions combinades amb fraccions:
Fitxa F37, proporcionada pel professor, amb 24 operacions combinades per a practicar

2. Problemes amb fraccions, els que vam fer a classe, que aproximadament són aquests:
p.9: 14, 15, 16, 17, 18
p.17: 63, 64, 65, 66, 67, 68

3. Operacions amb potències:
p. 25: 10, 12
p. 27: 22, 23, 24 i 27
p. 37: 88

4. Operacions amb notació científica (és important recordar que en estos exercicis el resultat HA D'ESTAR representat en notació científica):
p. 31: 47 i 48
p. 38: 104, 105 i 106

5. Radicals:
p. 33: 61 i 62
p. 35: 76abcd i 77 (i l'exercici resolt que hi ha just abans)
p. 39: 120abcde i 121abcde

6. Operacions amb polinomis: (no cal que les feu totes, vos pose varietat per a que feu bé i amb seguretat estes operacions, que són senzilles)
Fitxa F55, proporcionada pel professor, qualsevol exercici que NO tinga fraccions en el seu enunciat.
p. 53: 48 i 49
p. 55: 60 (podeu fer-lo només per Ruffini)
p. 60: 97, 105, 108

7. Identitats notables:
p. 51: 37, 38, 39, 40
p. 60: 101, 102

8. Factorització:
No la repasseu tal i com l'hem feta en novembre. La repassarem a classe emprant equacions de 2n grau en el tema que estem explicant ara, i vos la preguntaré així (és un avantatge per a vosaltres, vos eixirà més fàcil i ho tindreu més recent).

Algunes solucions (via web) als exercicis de sistemes lineals per Gauss

Anem a utilitzar aquesta ferramenta web per a resoldre sistemes per Gauss:

https://matrixcalc.org/es/slu.html

Ací teniu totes les solucions als exercicis 65 a 71 de la pàgina 103 (en les formes matricial i amb incògnites, amb els enllaços, etc.). Ja vos he explicat a classe com usar la web, que té alguns avantatges respecte al que vos he contat com fer amb la calculadora científica.

[65a]
-1 1 1 5
2 -1 4 -5
1 1 -5 5

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,1,5%7D,%7B2,-1,4,-5%7D,%7B1,1,-5,5%7D%7D%29

[65b]
1 -2 -1 -1
1 -1  2  2
1  2  1  3

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-2,-1,-1%7D,%7B1,-1,2,2%7D,%7B1,2,1,3%7D%7D%29

[65c]
2 -1 -1  24
7 10  2   6
2  6  4 -10

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,-1,-1,24%7D,%7B7,10,2,6%7D,%7B2,6,4,-10%7D%7D%29

[65d]
-x+3y+z=-15
3x-y+3z=9
x+4x-2z=-4

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,3,1,-15%7D,%7B3,-1,3,9%7D,%7B5,0,-2,-4%7D%7D%29

[65e]
3x+2y+2z=1
2x+y+z=0
3y+2z=-1

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,2,2,1%7D,%7B2,1,1,0%7D,%7B0,3,2,-1%7D%7D%29

[65f]
3x - 2y + 4z = 5
5x + 2y -2z = -1
-x +6y -10x = -11

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-2,4,5%7D,%7B5,2,-2,-1%7D,%7B-11,6,0,-11%7D%7D%29

[66a]
Si multipliquem la tercera equació per 2, tenim aquest sistema ja sense fraccions:
x+y-z=3
2x-y-5z=0
x+6y+4z=13

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,-1,3%7D,%7B2,-1,-5,0%7D,%7B1,6,4,13%7D%7D%29


[66b]
x-y+z=1
-2x+y-z=-4
x+2y-2z=7

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,1%7D,%7B-2,1,-1,-4%7D,%7B1,2,-2,7%7D%7D%29

[66c]
-x+y+z=5
2x-y-4z=-5
x+y-5z=5

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,1,5%7D,%7B2,-1,-4,-5%7D,%7B1,1,-5,5%7D%7D%29

[66d]
x+y-5z=2
x-y-z=-4
y-2z=3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,-5,2%7D,%7B1,-1,-1,-4%7D,%7B0,1,-2,3%7D%7D%29

[66e]
x-2z=-11
2y-z=-5
x-4y=-1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B0,1,-2,-11%7D,%7B2,0,-1,-5%7D,%7B-4,1,0,-1%7D%7D%29

[66f]
-x+y-z=-7
3x-y-z=15
4x-2y=22

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,-1,-7%7D,%7B3,-1,-1,15%7D,%7B4,-2,0,22%7D%7D%29

[67a]
x-y+z=3
2x+4z=2
2x-y+3z=1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,3%7D,%7B2,0,4,2%7D,%7B2,-1,3,1%7D%7D%29

[67b]
2x+y-z=0
x+3y-2z=1
x-2y+z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,1,-1,0%7D,%7B1,3,-2,1%7D,%7B1,-2,1,2%7D%7D%29

[67c]
-x-y+2z=3
2x+3y+z=-2
2y+10z=8

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,-1,2,3%7D,%7B2,3,1,-2%7D,%7B0,2,10,8%7D%7D%29

[67d]
x+2y-z=5
2x+y-2z=7
x-y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,2,-1,5%7D,%7B2,1,-2,7%7D,%7B1,-1,-1,0%7D%7D%29

[67e]
x+5y-5z=12
-2x-3y+3z=-1
3x+y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,5,-5,12%7D,%7B-2,-3,3,-1%7D,%7B3,1,-1,0%7D%7D%29

[67f]
x-5y+3z=10
2x-2y+z=-4
3x+y-z=5

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-5,3,10%7D,%7B2,-2,1,-4%7D,%7B3,1,-1,5%7D%7D%29

[68a]
-x+y-z=6
y-4z=-7
-x=4

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-1,1,-1,6%7D,%7B0,1,-4,-7%7D,%7B-1,0,0,4%7D%7D%29

[68b]
Escrivim ordenadament el sistema per a poder emprar el mètode de Gauss:
-2x-y+5z=-3
7x-5y+z=2
3x+3y+2z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B-2,-1,5,-3%7D,%7B7,-5,1,2%7D,%7B3,3,2,2%7D%7D%29

[68c]

x-y+z=-4

x-z=-10

y-z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,-1,1,-4%7D,%7B1,0,-1,-10%7D,%7B0,1,-1,2%7D%7D%29

[68d]

2x+y-2z=4

3x-2y+2z=3

-5x+3y+z=2

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,1,-2,4%7D,%7B3,-2,2,3%7D,%7B-5,3,1,2%7D%7D%29

[69a]
2x+4y+z=0
x-y+2z=0
-3x+2y+z=0

https://matrixcalc.org/en/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,4,1,0%7D,%7B1,-1,2,0%7D,%7B-3,2,1,0%7D%7D%29


[69b]
2x-3y+z=0
x+9y-3z=0
5x+3y-z=0

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B2,-3,1,0%7D,%7B1,9,-3,0%7D,%7B5,3,-1,0%7D%7D%29


[69c]
6x+4y-12z=6
7x+6y+18z=7
-3x-2y+6z=-3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B6,4,-12,6%7D,%7B7,6,18,7%7D,%7B-3,-2,6,-3%7D%7D%29


[69d]
3x-7y+4z=4
-10x+71y+9z=9
6x-3y-2z=10

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B3,-7,4,4%7D,%7B-10,71,9,9%7D,%7B6,-3,-2,10%7D%7D%29

[70a]
x+4y=2
2x-y+2z=1
7x =3

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B0,1,4,2%7D,%7B2,2,-1,1%7D,%7B0,7,0,3%7D%7D%29

[70b]
x+y+2z=4
-2x+y-z=3
-x+2y+z=1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,2,4%7D,%7B-2,1,-1,3%7D,%7B-1,2,1,1%7D%7D%29

[71a]
Després de multiplicar cada equació per 4, 10 i 2 ens queda la següent expressió quasi matricial del sistema (que és la que podeu copiar en la web per a veure la solució):
2x-y+4z=43
20x+2y+5z=90
x-y-2z=-8
https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28{{2,-1,4,43},{20,2,5,90},{1,-1,-2,-8}}%29


[71b]
Després de desfer els parèntesis en les equacions 1a i 2a i de multiplicar per 30 la 3a obtenim la següent expressió del sistema:
-3x-3y+4z=1
2x-y-z=-5
15x+10y-6z=-1

https://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28{{-3,-3,4,1},{2,-1,-1,-5},{15,10,-6,-1}}%29

Mètode de Gauss - exemples resolts a Youtube

He ordenat el millor que he cregut els següents exemples de sistemes de 3 equacions amb 3 incògnites resolts en YouTube. Cadascú conta les mateixes coses de formes lleugerament diferents, però els exercicis vos serviran per a 1) practicar 2) veure la solució i 3) aprendre que hi ha formes diferents de resoldre els sistemes.

EXEMPLE 1:

2x + 6y + z = 7
x + 2y -z = -1
5x + 7y -4z = 9

El teniu resolt, molt claret, ací:  https://www.youtube.com/watch?v=XRcx8-2lLJI
La resolució comença en 3:38, acaba en 16:00. A partir d'eixe moment el que fa és comprovar la solució. En 19:00 comença el següent exemple.


EXEMPLE 2:

x + y + 2z = 3
2x + y -3z = 4
  -x -2y = -5

És la continuació del vídeo anterior, enllaç al minut 19:00 ací: https://youtu.be/XRcx8-2lLJI?t=1140
Hi ha un xicotet error (canvia un -7z per -3z), però com no li afecta al resultat (perquè li dóna z=0) no se n'adona.


EXEMPLE 3:

x - 2y + z = 3
2x - 5y +3z = 4
5x + y + 7z = 11

El teniu ací, és el primer de 3 exemples que vos enllace del mateix professor: https://youtu.be/sHBlmYy7-0U.

La resolució acaba en 8:30 aproximadament, i el que segueix a partir d'eixe moment és una interpretació geomètrica interessant.

EXEMPLE 4:

2x - y + 15z = 3
x - 3y -2z  = 7
x - 8y -21z = 11

Ací el teniu resolt: https://youtu.be/__8Vg4ePRr4. En el minut 9 hi ha una interessant interpretació geomètrica. No espereu a 2n de Batxillerat a "visualitzar" el sentit que tenen els sistemes d'equacions en 3 dimensions: això és útil que ho feu des de ja mateix.


EXEMPLE 5:

x - y +3z = 4
2x -y - z = 6
3x - 2y + 2z = 10

El teniu resolt ací: https://www.youtube.com/watch?v=ERUAPI-jrH0
A partir del minut 11 fa una interpretació geomètrica en la pissarra del significat d'eixa solució, i és interessant que escolteu l'explicació.

A més d'eixa explicació, vos adjunte ací baix una imatge meua de Geogebra 3D on apareix eixa interpretació geomètrica "ben dibuixada", amb les mateixes equacions de l'exemple.

EXEMPLE 6:

x +  y +  z = 2
x + 2y + 3z = 3
x + 3y +  z = 0

El teniu resolt i explicat a partir del minut 5:10, vos ho enllace directament. https://youtu.be/aBfJohxq1Xs?t=310
NO necessiteu, de moment, el mètode Gauss-Jordan, així que podeu parar en el minut 11. En 2n BAT sí podria ser-vos útil, així que si seguiu sabreu en què consisteix.
NOTA: Mai li poseu una dièresi a la u de "Gauss": és una falta de respecte al Príncep dels Matemàtics.


EXEMPLE 7:

2x + y -z = 1
3x - 2y + z = 2
-4x + 3y -2z = -4

El teniu ací: https://www.youtube.com/watch?v=kpRQ_jWHSqg
En l'encapçalament diu "Gauss-Jordan", però en realitat usa Gauss, que és el que ens interessa (no són tan diferents, en realitat). La resolució comença en 2:50, les explicacions del prinicipi ja les sabeu.


EXEMPLE 8:

5x + y + 7z = 11
2x -5y +3z = 4
x  - 2y + z = 3

El teniu resolt ací: https://www.youtube.com/watch?v=Ix9hDqfNuIA
Susi aconsegueix escalonar sense canviar la disposició inicial de les equacions, PERÒ jo vos recomane que intercanvieu la 1a i la 3a equacions. No cal dir que el resultat serà el mateix i que el podeu comprovar.
Heu de tindre en compte que en aquest i altres exemples, Susi anomena "funcions" a les "files" (no és del tot erroni, però és desconcertant: no ho feu!) i escriu les operacions que fa amb les files de forma diferent (però també correcta) a com ho fem nosaltres.


EXEMPLE 9:

x  -3y + 7z = 10
5x - y + z = 10
x + 4y - 10z = -11

Ací el teniu: https://www.youtube.com/watch?v=3S7Lx7c9N8Q.

A partir de 6:45 torna a explicar el que jo ja vos he contat a classe: què fer quan "ens sobra" una equació, és a dir: quan ens queden només dues (o una!) restriccions per a tres incògnites. En eixes situacions hem "guanyat" un (o dos!) graus de llibertat, és a dir: podem fer variar el valor d'un (o dos) paràmetres per a aconseguir les infinites solucions del sistema (que és Compatible Indeterminat).


EXEMPLE 10:

x  -3y - 2z = 7
2x - y +15z = 3
x - 8y - 21z = 11

El vídeo és este, https://www.youtube.com/watch?v=cPiQRNrBBSY.

La professora comet un xicotet error en 2:45 que corregeix més tard (5:50). Eixes coses vos passaran a vosaltres (em passen a mi!) i heu de saber "intuir" quan hi ha un signe en què podríeu haver-vos equivocat (perquè veieu que si eixe signe canvia, canvia la discussió del sistema). Corregir errors "al vol" és també una habilitat matemàtica utilíssima que només s'adquereix... practicant i equivocant-se! Finalment, en 7:20 es raona perquè el sistema és Incompatible (perquè ens "desapareixen" totes les incògnites però queda un nombre distint de zero en l'altre membre).

MAT I - Informació prèvia a l'examen de funcions 20-nov

Informació per a l'examen del dia 20 de 1r de Batxillerat (els de 3r d'ESO esteu buscant una altra entrada del blog, més avall, just l'anterior...)

Ací teniu les gràfiques de l'exercici 103, pàgina 239. En general, he representat cada tros com una funció distinta per a que pugueu veure cada tros en un color distint. Feu clic dret i "obrir en una nova pestanya" per a consultar les gràfiques sense perdre de vista aquest índex.

103a) https://www.geogebra.org/m/mahg6s6s
103b) https://www.geogebra.org/m/usqwqgwv
103c) https://www.geogebra.org/m/bunqysyb