En primer lloc, vos envie una llista de reproducció que vos repassa la teoria d'este tema. No és una llista meua, sinó d'un curs de prerrequisits de la Universitat Politècnica de València sobre conjunts numèrics. El curs de la UPV es diu: Bases Matemáticas: números y terminología básica | Universitat Politècnica de València, i no és més difícil que el que hem fet a classe, no és de nivell universitari, sinó que és un curs de prerrequisits, per a repassar abans d'entrar a una enginyeria. Nosaltres usarem graus i no radians per als arguments, però a part d'això fem les coses aproximadament igual.
Els vídeos que ens interessen són els que van del 18 al 27 (el final) d'aquesta llista de reproducció:
En este enllaç trobareu una playlist de vídeos fets per mi mateix (amb exercicis d'un llibre de 4t d'ESO) sobre equacions de la recta, posicions relatives, etc. Vos serviran per a fer bé la part de rectes de l'examen de dilluns que ve. En classe vos donaré la fitxa en paper, però la copie més avall per si de cas.
Estic comprovant cada dia a classe que les qüestions de geometria analítica que haurien de ser un repàs de 4t d'ESO són, en realitat, una novetat per a alguns de vosaltres. Per això he preparat esta "minifitxa" d'exercicis simples de vectors i rectes, per a consolidar les parts més fàcils d'este bloc de l'assignatura. Teniu les solucions ací, en el blog, en esta llista de reproducció:
A continació teniu els exercicis. El primer punt no és un exercici sinó un repàs bastant vàlid de tota la unitat 5 (un vídeo molt llarg que podeu vore només si creieu que el necessiteu). No he pogut editar bé encara els exercicis, i per això a tots els vectors els falta posar-los una fletxa per damunt.
[1] Exposició teòrica corresponent a la unitat 5 sencera, per si voleu repassar (no hi ha exercicis, ací). Podeu mirar-la poc a poc, a mesura que la necessiteu, o anar al punt que vos interessa.
[2] Calcula el mòdul dels següents vectors: u=(2,3), v=(-3,4), w=(-1,-5)
[3] Si u=(2,3) i v=(-3,4), calcula: u+v, u-v, 2u+3v, 3u-4v
[4] Considera els punts: A(2,-3), B(3,5), C(-2,4), D(-1,0), E(-3,0) i F(7,-3). Calcula els vectors AB, CD, EF.
[5] Calcula la distància entre els següents parells de punts:
A(3,4) i B(-1,2)
C(-1,3) i D(2,-1)
[6] Calcula el producte escalar de:
u=(2,3) i v=(-3,4)
u=(1,3) i v=(-5,2)
u=(0,1) i v=(-1,2)
[7] Calcula el producte escalar i l'angle que formen u=(-2,5) i v=(1,3)
[8] Calcula l'angle que formen els vectors:
(a) u=(5,2) i v=(3,6)
(b) u=(-3,7) i v=(-5,-2)
[9] Quina combinació lineal de u=(7,-4) i v=(-5,-2) dona per resultat el vector w=(11,18)?
[10] Si tenim els vectors u=(1,2) i v=(k,1), calcula el valor de k per a que:
(a) tinguen el mateix mòdul
(b) siguen ortogonals (perpendiculars)
(c) siguen paral·lels
(d) el mòdul de v siga 2
i finalment: (e) per al valor k=3 calcula l'angle que formen els dos vectors
[11] Troba totes les equacions de la recta que passa pel punt A(-1,4) i té per vector director v=(-3,2)
[12] Troba totes les equacions de la recta que passa pels punts A(1,0) i B(4,2)
Dilluns 12 de gener farem la recuperació de la primera avaluació de Matemàtiques I. Els suspesos s'heu de presentar, els aprovats també podeu pujar nota, no baixarà nota en cap cas.
Teniu més informació sobre què hem fet de cada punt en entrades anteriors de blog, en les vostres llibretes i en el llibre. Aprofiteu les vacances per a repassar calmadament. Bon Nadal!
QUÈ ENTRA EN LA RECUPERACIÓ DE LA 1A AVALUACIÓ - TEMES 1 I 2?
- Radicals
- Logaritmes
- Factorització de polinomis
- Fraccions algebraiques
- Equacions no lineals (polinòmiques, racionals, amb radicals, logarítmiques, exponencials)
- Sistemes d'equacions no lineals
- Problemes que es resolen amb equacions o sistemes no lineals
- Resolució de sistemes d'equacions mitjançant el mètode de Gauss (compatibles determinats i indeterminats, incompatibles)
- Problemes que es resolguen aplicant el mètode de Gauss
- Inequacions polinòmiques i racionals
COSES QUE NO PREGUNTARÉ (no puc fer un examen tan llarg ni complet, no hi ha temps)
- Binomi de Newton
- Equacions amb valor absolut
- Sistemes d'inequacions lineals (resolució gràfica)
Esta entrada de blog correspon amb la fitxa que vos he donat en paper i que copie tot seguit. Són els deures per a dijous 8 de gener de 2026. Trobareu ací una captura digital de la fitxa i més avall els vídeos i fotos de les solucions.
Podeu fer-ho sense mirar ni els vídeos ni les imatges de les solucions. Useu-les només si les necessiteu.
El tercer i últim examen de la primera avaluació de Matemàtiques I serà el pròxim dimecres 26 de novembre. Què entra?
- Resolució de sistemes d'equacions mitjançant el mètode de Gauss (compatibles determinats i indeterminats, incompatibles)
- Problemes que es resolguen aplicant el mètode de Gauss
- Inequacions polinòmiques i racionals
- Sistemes d'inequacions lineals
No tindreu més "deures" abans de l'examen, però és important que practiqueu. Ací baix teniu cosetes per a practicar.
MÈTODE DE GAUSS:
He ordenat el millor que he cregut els següents exemples de sistemes de 3 equacions amb 3 incògnites resolts en YouTube. Cadascú conta les mateixes coses de formes lleugerament diferents, però els exercicis vos serviran per a 1) practicar 2) veure la solució i 3) aprendre que hi ha formes diferents de resoldre els sistemes.
EXEMPLE 1:
2x + 6y + z = 7
x + 2y -z = -1
5x + 7y -4z = 9
El teniu resolt, molt claret, ací: https://www.youtube.com/watch?v=XRcx8-2lLJI
La resolució comença en 3:38, acaba en 16:00. A partir d'eixe moment el que fa és comprovar la solució. En 19:00 comença el següent exemple.
EXEMPLE 2:
x + y + 2z = 3
2x + y -3z = 4
-x -2y = -5
És la continuació del vídeo anterior, enllaç al minut 19:00 ací: https://youtu.be/XRcx8-2lLJI?t=1140
Hi ha un xicotet error (canvia un -7z per -3z), però com no li afecta al resultat (perquè li dóna z=0) no se n'adona.
La resolució acaba en 8:30 aproximadament, i el que segueix a partir d'eixe moment és una interpretació geomètrica interessant.
EXEMPLE 4:
2x - y + 15z = 3
x - 3y -2z = 7
x - 8y -21z = 11
Ací el teniu resolt: https://youtu.be/__8Vg4ePRr4. En el minut 9 hi ha una interessant interpretació geomètrica. No espereu a 2n de Batxillerat a "visualitzar" el sentit que tenen els sistemes d'equacions en 3 dimensions: això és útil que ho feu des de ja mateix.
EXEMPLE 5:
x - y +3z = 4
2x -y - z = 6
3x - 2y + 2z = 10
El teniu resolt ací: https://www.youtube.com/watch?v=ERUAPI-jrH0
A partir del minut 11 fa una interpretació geomètrica en la pissarra del significat d'eixa solució, i és interessant que escolteu l'explicació.
A més d'eixa explicació, vos adjunte ací baix una imatge meua de Geogebra 3D on apareix eixa interpretació geomètrica "ben dibuixada", amb les mateixes equacions de l'exemple.
EXEMPLE 6:
x + y + z = 2
x + 2y + 3z = 3
x + 3y + z = 0
El teniu resolt i explicat a partir del minut 5:10, vos ho enllace directament. https://youtu.be/aBfJohxq1Xs?t=310
NO necessiteu, de moment, el mètode Gauss-Jordan, així que podeu parar en el minut 11. En 2n BAT sí podria ser-vos útil, així que si seguiu sabreu en què consisteix.
NOTA: Mai li poseu una dièresi a la u de "Gauss": és una falta de respecte al Príncep dels Matemàtics.
EXEMPLE 7:
2x + y -z = 1
3x - 2y + z = 2
-4x + 3y -2z = -4
El teniu ací: https://www.youtube.com/watch?v=kpRQ_jWHSqg
En l'encapçalament diu "Gauss-Jordan", però en realitat usa Gauss, que és el que ens interessa (no són tan diferents, en realitat). La resolució comença en 2:50, les explicacions del prinicipi ja les sabeu.
EXEMPLE 8:
5x + y + 7z = 11
2x -5y +3z = 4
x - 2y + z = 3
El teniu resolt ací: https://www.youtube.com/watch?v=Ix9hDqfNuIA
Susi aconsegueix escalonar sense canviar la disposició inicial de les equacions, PERÒ jo vos recomane que intercanvieu la 1a i la 3a equacions. No cal dir que el resultat serà el mateix i que el podeu comprovar.
Heu de tindre en compte que en aquest i altres exemples, Susi anomena "funcions" a les "files" (no és del tot erroni, però és desconcertant: no ho feu!) i escriu les operacions que fa amb les files de forma diferent (però també correcta) a com ho fem nosaltres.
EXEMPLE 9:
x -3y + 7z = 10
5x - y + z = 10
x + 4y - 10z = -11
A partir de 6:45 torna a explicar el que jo ja vos he contat a classe: què fer quan "ens sobra" una equació, és a dir: quan ens queden només dues (o una!) restriccions per a tres incògnites. En eixes situacions hem "guanyat" un (o dos!) graus de llibertat, és a dir: podem fer variar el valor d'un (o dos) paràmetres per a aconseguir les infinites solucions del sistema (que és Compatible Indeterminat).
La professora comet un xicotet error en 2:45 que corregeix més tard (5:50). Eixes coses vos passaran a vosaltres (em passen a mi!) i heu de saber "intuir" quan hi ha un signe en què podríeu haver-vos equivocat (perquè veieu que si eixe signe canvia, canvia la discussió del sistema). Corregir errors "al vol" és també una habilitat matemàtica utilíssima que només s'adquereix... practicant i equivocant-se! Finalment, en 7:20 es raona perquè el sistema és Incompatible (perquè ens "desapareixen" totes les incògnites però queda un nombre distint de zero en l'altre membre).
FITXA D'INEQUACIONS: vos la done també en paper, però ho teniu ací per a poder practicar (exercicis i resolució en Youtube)
